जब $x = \frac{7}{2}$ और $y = \frac{3}{7}$ हो,तो $(2x - 3y)^{13}$ के विस्तार में संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद क्या है?

यदि $(3+7x)^{29}$ के विस्तार में $r$-वें और $(r+1)$-वें पदों के गुणांक समान हैं,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

धनात्मक पूर्णांक $k$ की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $\left(2x^3 + \frac{3}{x^k}\right)^{12}, x \neq 0$ के द्विपद विस्तार में अचर पद $2^8 \cdot \ell$ हो,जहाँ $\ell$ एक विषम पूर्णांक है:

$\left(\frac{x}{\cos \theta}+\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{16}$ के विस्तार में,यदि $\frac{\pi}{8} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए $x$ से स्वतंत्र पद का न्यूनतम मान $\ell_{1}$ है और $\frac{\pi}{16} \leq \theta \leq \frac{\pi}{8}$ के लिए $x$ से स्वतंत्र पद का न्यूनतम मान $\ell_{2}$ है,तो अनुपात $\ell_{2} : \ell_{1}$ बराबर है

$(1 + \alpha x)^4$ और $(1 - \alpha x)^6$ के $x$ की घातों में द्विपद विस्तार में मध्य पद का गुणांक समान है,यदि $\alpha$ का मान है

यदि ${\left( {{x^4} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^{15}}$ के विस्तार में ${r^{th}}$ पद में ${x^4}$ आता है,तो $r = $