બે રેખાઓ $\frac{x+2}{3}=\frac{y-2}{5}=\frac{z+5}{7}$ અને $\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{4}=\frac{z+4}{7}$ ને સમાવતા સમતલનું ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર શોધો.

સમતલો $x + 2y + z - 1 = 0$ અને $2x + y + 3z - 2 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા અને સમતલ $x + y + z - 1 = 0$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ છે. જો આ સમતલ $x + ky + 3z - 1 = 0$ ને સમાંતર હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે રેખા $\ell: x = \frac{1-y}{-2} = \frac{z-3}{\lambda}, \lambda \in R$ એ સમતલ $P: x + 2y + 3z = 4$ ને બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માં મળે છે. જો રેખા $\ell$ અને સમતલ $P$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$ હોય,તો $\alpha + 2\beta + 6\gamma$ ની કિંમત શોધો.

જો $P(2, \beta, \alpha)$ એ સમતલ $x+2y-z-2=0$ પર આવેલું હોય અને $Q(\alpha, -1, \beta)$ એ સમતલ $2x-y+3z+6=0$ પર આવેલું હોય,તો રેખા $PQ$ ના દિક્કોસાઈન શું છે?

બિંદુ $(-1,-5,-10)$ નું રેખા $\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})$ અને સમતલ $\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ ના છેદબિંદુથી અંતર શોધો.

ધારો કે $S$ એ બિંદુ $Q$ નું સમતલ $\vec{r} = -(t+p) \hat{i} + \hat{j} + (1+p) \hat{k}$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ છે,જ્યાં $t, p$ વાસ્તવિક પ્રાચલો છે અને $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ એ ત્રણ ધન અક્ષો પરના એકમ સદિશો છે. જો $Q$ અને $S$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $10 \hat{i} + 15 \hat{j} + 20 \hat{k}$ અને $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = -101$
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = -71$
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = -86$
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = -121$