बिंदु P का स्थिति सदिश 2 hat{i}+hat{j}+3 hat{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है, बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = 2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ है।समतल $\pi$ सदिशों $\vec{a} = -\hat{i}-2 \hat{k}$ और $\vec{b} = \h

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$r=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}+\lambda(-\hat{i}+5 \hat{j}-2 \hat{k})$

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(A) दिया गया है, बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = 2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ है।समतल $\pi$ सदिशों $\vec{a} = -\hat{i}-2 \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ द्वारा निर्धारित होता है।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{a} 	imes \vec{b}$ है।रेखा समतल पर स्थित है और $\vec{b}$ के लंबवत है, इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{v}$, $\vec{n}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।अतः, $\vec{v} = \vec{n} 	imes \vec{b} = (\vec{a} 	imes \vec{b}) 	imes \vec{b}$.सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\vec{a} 	imes \vec{b}) 	imes \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a}$ का उपयोग करते हुए।$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (0)(1) + (-2)(2) = -1 - 4 = -5$.$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.अतः, $\vec{v} = -5(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) - 6(-\hat{i}-2 \hat{k}) = -5\hat{i}-5\hat{j}-10\hat{k} + 6\hat{i} + 12\hat{k} = \hat{i}-5\hat{j}+2\hat{k}$.नोट: दिशा सदिश को $-1$ से गुणा करने पर $-\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}$ प्राप्त होता है।रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{p} + \lambda \vec{v} = 2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k} + \lambda(-\hat{i}+5 \hat{j}-2 \hat{k})$ है।

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