ધન પૂર્ણાંક n, જેના માટે સમીકરણ x(x+2)+(x+2)( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{r=1}^{n}(x+2r-2)(x+2r) = \frac{8n}{3}$ છે.પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{r=1}^{n}(x^2 + 4rx - 2x + 4r^2 - 4r) = \frac{8n}{3}$.આનું

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{r=1}^{n}(x+2r-2)(x+2r) = \frac{8n}{3}$ છે.પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{r=1}^{n}(x^2 + 4rx - 2x + 4r^2 - 4r) = \frac{8n}{3}$.આનું સાદું રૂપ $nx^2 + 2x(2\sum r - n) + 4\sum r^2 - 4\sum r = \frac{8n}{3}$ થાય છે.$\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $nx^2 + 2x(n^2) + \frac{4n(n+1)(2n+1)}{6} - 2n(n+1) = \frac{8n}{3}$ મળે છે.$n$ વડે ભાગતા: $x^2 + 2nx + \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - 2(n+1) = \frac{8}{3}$.$x^2 + 2nx + \frac{4n^2+6n+2-6n-6-8}{3} = 0 \Rightarrow x^2 + 2nx + \frac{4n^2-12}{3} = 0$.કારણ કે ઉકેલો $\alpha, \beta$ બે ક્રમિક બેકી પૂર્ણાંકો છે, તેથી $|\alpha - \beta| = 2$.આમ, $\frac{\sqrt{D}}{1} = 2 \Rightarrow D = 4$.$D = (2n)^2 - 4(\frac{4n^2-12}{3}) = 4$.$4n^2 - \frac{16n^2-48}{3} = 4 \Rightarrow 12n^2 - 16n^2 + 48 = 12$.$-4n^2 = -36$ $\Rightarrow n^2 = 9$ $\Rightarrow n = 3$.

ધન પૂર્ણાંક $n$, જેના માટે સમીકરણ $x(x+2)+(x+2)(x+4)+...+(x+2n-2)(x+2n) = \frac{8n}{3}$ ના ઉકેલો બે ક્રમિક બેકી પૂર્ણાંકો હોય, તે છે:

Similar Questions

સમીકરણ $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો સમીકરણ $x^3 - 2ax^2 + 3bx - 8 = 0$ ના તમામ બીજ ધન હોય,જ્યાં $a, b \in R$,તો $b$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શું છે?

બિંદુ $(t^2 + 2t + 5, 2t^2 + t - 2)$ એ રેખા $x + y = 2$ પર ક્યારે આવે છે?

સમીકરણ $x^2-4x+[x]+3=x[x]$,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તેના:

$4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\ldots \infty}}} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module