किन्हीं r क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफ | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $(n+1), (n+2), \dots, (n+r)$ हैं।उनका गुणनफल $P = (n+1)(n+2) \dots (n+r)$ है।हम इसे इस प्रकार लिख सकते

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$r!$

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(A) मान लीजिए कि $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $(n+1), (n+2), \dots, (n+r)$ हैं।उनका गुणनफल $P = (n+1)(n+2) \dots (n+r)$ है।हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:$P = \frac{(n+r)!}{n!}$.$r!$ से गुणा और भाग करने पर, हमें प्राप्त होता है:$P = \frac{(n+r)!}{n! r!} 	imes r! = \binom{n+r}{r} 	imes r!$.चूंकि $\binom{n+r}{r}$ $n+r$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या है, यह हमेशा एक पूर्णांक होता है।इसलिए, गुणनफल $P$ हमेशा $r!$ से विभाज्य होता है।

किन्हीं $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा किससे विभाज्य होता है?

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