હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષાની ત્રિજ્યા અને ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ અનુક્રમે $5.5 \times 10^{-11} \,m$ અને $4 \times 10^6 \,m/s$ છે. તો,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં આ ઇલેક્ટ્રોનનો કક્ષીય આવર્તકાળ કેટલો હશે?

$Li^{++}$ આયનની પાંચમી કક્ષાની ત્રિજ્યા $......... \times 10^{-12} \ m$ છે. લો: હાઇડ્રોજન પરમાણુની ત્રિજ્યા (પ્રથમ બોહર ત્રિજ્યા) $r_0 = 0.51 \ \mathring{A}$.

પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ ધરાવતા હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n=3$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનને ધ્યાનમાં લો. નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર,$k_B T$ જેટલી ઉષ્મીય ઉર્જા ધરાવતા ન્યુટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ આ ઇલેક્ટ્રોન જેટલી જ છે. જો આ તાપમાન $T = \frac{Z^2 h^2}{\alpha \pi^2 a_0^2 m_N k_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે,(જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$m_N$ એ ન્યુટ્રોનનું દળ છે અને $a_0$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ બોહર ત્રિજ્યા છે),તો $\alpha$ નું મૂલ્ય $....$ છે.

દર્શાવો કે જ્યારે $n >> 1$ હોય,ત્યારે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n$ કરતા ઊંચા સ્તરોમાંથી $n^{\text{th}}$ સ્તર પર આવે ત્યારે ઉત્સર્જિત પ્રકાશની પ્રથમ થોડી આવૃત્તિઓ આશરે હાર્મોનિક્સ (એટલે કે $1:2:3...$ ના ગુણોત્તરમાં) હોય છે.

$Li^{++}$ આયનમાં,પ્રથમ બોહ્ર કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનને $\lambda$ તરંગલંબાઇ ધરાવતા વિકિરણ દ્વારા ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરમાં ઉત્તેજિત કરવામાં આવે છે. જ્યારે આ આયન તમામ શક્ય રીતે (મધ્યવર્તી ઉત્સર્જન સહિત) ધરાસ્થિતિમાં પાછો ફરે છે,ત્યારે કુલ છ વર્ણપટ રેખાઓ જોવા મળે છે. $\lambda$ નું મૂલ્ય $nm$ માં કેટલું હશે? (આપેલ છે: $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s, c = 3 \times 10^8 \, m/s, 1 \, eV = 1.6 \times 10^{-19} \, J$)

શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં પ્રોટોનની આસપાસ ફરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશની પ્રારંભિક આવૃત્તિની ગણતરી કરો.