जब $10^{10} \cdot (10^{10} + 1) \cdot (10^{10} + 2)$ को $6$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

यदि $n > 1$ एक पूर्णांक है और $x \neq 0$ है, तो $(1+x)^{n}-nx-1$ किससे विभाज्य है?

एक संख्या $x$ का $50$ वाँ मूल $12$ है और दूसरी संख्या $y$ का $50$ वाँ मूल $18$ है। तो $(x + y)$ को $25$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल $........$ है।

यदि व्यंजक $5^{2n} - 48n + k$ सभी $n \in N$ के लिए $24$ से विभाज्य है,तो $k$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I$: $25^{13} + 20^{13} + 8^{13} + 3^{13}$, $7$ से विभाज्य है।
कथन $II$: $(7 + 4\sqrt{3})^{25}$ का पूर्णांक भाग एक विषम संख्या है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

जब $7^{7^{7^{...7}}}$ ($22$ बार $7$) को $48$ से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल क्या है?