जब सारणिक left|begin{array}{lll} 2014^{2014} | vedclass

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Question

(D) जब सारणिक $D$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम प्रविष्टियों का $5$ के मापांक (modulo) में मूल्यांकन करते हैं।$2014 \eq

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$4$

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(D) जब सारणिक $D$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम प्रविष्टियों का $5$ के मापांक (modulo) में मूल्यांकन करते हैं।$2014 \equiv -1 \pmod{5}$,$2015 \equiv 0 \pmod{5}$,$2016 \equiv 1 \pmod{5}$,$2017 \equiv 2 \pmod{5}$,$2018 \equiv 3 \equiv -2 \pmod{5}$,$2019 \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}$,$2020 \equiv 0 \pmod{5}$,$2021 \equiv 1 \pmod{5}$,$2022 \equiv 2 \pmod{5}$.इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:$D \equiv \left|\begin{array}{ccc} (-1)^{2014} & 0^{2015} & 1^{2016} \ 2^{2017} & (-2)^{2018} & (-1)^{2019} \ 0^{2020} & 1^{2021} & 2^{2022} \end{array}ight| \pmod{5}$$D \equiv \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \ 2^{2017} & 2^{2018} & -1 \ 0 & 1 & 2^{2022} \end{array}ight| \pmod{5}$प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:$D \equiv 1(2^{2018} \cdot 2^{2022} - (-1)(1)) - 0 + 1(2^{2017} \cdot 1 - 0) \pmod{5}$$D \equiv 2^{4040} + 1 + 2^{2017} \pmod{5}$फर्मेट के छोटे प्रमेय के अनुसार,$a^4 \equiv 1 \pmod{5}$:$2^{4040} = (2^4)^{1010} \equiv 1^{1010} \equiv 1 \pmod{5}$$2^{2017} = (2^4)^{504} \cdot 2^1 \equiv 1^{504} \cdot 2 \equiv 2 \pmod{5}$अतः,$D \equiv 1 + 1 + 2 = 4 \pmod{5}$.शेषफल $4$ है।

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