समीकरण x^5 - 40x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s = 0 | vedclass

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Question

(D) माना समीकरण के मूल $\frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2$ हैं। मूलों का योग: $\frac{a}{r^2} + \frac{a}{r} + a + ar + ar^2 = 40$. व्युत्क्रमों क

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$32$

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(D) माना समीकरण के मूल $\frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2$ हैं। मूलों का योग: $\frac{a}{r^2} + \frac{a}{r} + a + ar + ar^2 = 40$. व्युत्क्रमों का योग: $\frac{r^2}{a} + \frac{r}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} = 10$. इसे $\frac{1}{a} (r^2 + r + 1 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r^2}) = 10$ के रूप में लिखा जा सकता है। मूलों का योग $\frac{a}{r^2} (1 + r + r^2 + r^3 + r^4) = 40$ है। दोनों का भाग करने पर: $\frac{a(1+r+r^2+r^3+r^4)}{(1/a)(1+r+r^2+r^3+r^4)/r^2} = \frac{40}{10} = 4$. इससे $a^2 r^2 = 4$ प्राप्त होता है,अर्थात $ar = \pm 2$. मूलों का गुणनफल $s = (\frac{a}{r^2})(\frac{a}{r})(a)(ar)(ar^2) = a^5$ है। यहाँ $a$ मध्य पद है,इसलिए $a(1 + (r + \frac{1}{r}) + (r^2 + \frac{1}{r^2})) = 40$. $ar = \pm 2$ का उपयोग करने पर,$a = 2$ या $a = -2$ प्राप्त होता है। यदि $a = 2$ है,तो $s = a^5 = 2^5 = 32$. यदि $a = -2$ है,तो $s = (-2)^5 = -32$. अतः,$|s| = 32$.

समीकरण $x^5 - 40x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s = 0$ के मूल $G.P.$ में हैं। उनके व्युत्क्रमों का योग $10$ है। तो $|s|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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