a के उन सभी वास्तविक मानों का समुच्चय ज्ञात क | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 2ax^2 + 3(a+1)x + 5$ है।$f(x)$ के अपने पूरे प्रांत में निरंतर वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।

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$(-\frac{3}{4}, 3)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 2ax^2 + 3(a+1)x + 5$ है।$f(x)$ के अपने पूरे प्रांत में निरंतर वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^2 + 4ax + 3(a+1)$.चूंकि $f'(x)$ एक द्विघात व्यंजक है जिसका अग्रणी गुणांक धनात्मक $(3 > 0)$ है,इसलिए $f'(x) \geq 0$ होने के लिए इसका विविक्तकर (discriminant) $D \leq 0$ होना चाहिए।$D = (4a)^2 - 4(3)(3(a+1)) \leq 0$.$16a^2 - 36(a+1) \leq 0$.$4$ से विभाजित करने पर: $4a^2 - 9(a+1) \leq 0$.$4a^2 - 9a - 9 \leq 0$.गुणनखंड करने पर: $(4a+3)(a-3) \leq 0$.यह असमिका तब सत्य है जब $a$ मूलों के बीच स्थित हो: $a \in [-\frac{3}{4}, 3]$.निरंतर वर्धमान फलन के लिए,हमें अंतराल $a \in (-\frac{3}{4}, 3)$ प्राप्त होता है।

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