निम्नलिखित आकृति में छायांकित क्षेत्र एक निश्चित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए समाधान सेट का प्रतिनिधित्व करता है। इस क्षेत्र के लिए रैखिक बाधाएं हैं:

उद्देश्य फलन $z=2x+3y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए,जो प्रतिबंधों $x+y \leq 5$,$2x+y \geq 4$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ के अधीन है।

एक आहार विशेषज्ञ को दो खाद्य पदार्थों $P$ और $Q$ का उपयोग करके एक विशेष आहार विकसित करना है। खाद्य $P$ के प्रत्येक पैकेट $(30 \, g)$ में $12$ इकाई कैल्शियम,$4$ इकाई आयरन,$6$ इकाई कोलेस्ट्रॉल और $6$ इकाई विटामिन $A$ होता है। खाद्य $Q$ के प्रत्येक पैकेट में $3$ इकाई कैल्शियम,$20$ इकाई आयरन,$4$ इकाई कोलेस्ट्रॉल और $3$ इकाई विटामिन $A$ होता है। आहार में कम से कम $240$ इकाई कैल्शियम,कम से कम $460$ इकाई आयरन और अधिकतम $300$ इकाई कोलेस्ट्रॉल की आवश्यकता होती है। आहार में विटामिन $A$ की मात्रा को अधिकतम करने के लिए प्रत्येक खाद्य पदार्थ के कितने पैकेट का उपयोग किया जाना चाहिए? आहार में विटामिन $A$ की अधिकतम मात्रा क्या है?

$0 \leq x \leq 3$,$0 \leq y \leq 3$ और $x + y \geq 5$ के प्रतिबंधों के अधीन $z = 10x + 25y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:

अधिकतम करने के लिए फलन $Z=2x+y$ द्वारा दिया गया है। इस फलन $Z$ के लिए सुसंगत क्षेत्र चित्र में दर्शाया गया छायांकित क्षेत्र है। $Z$ का अधिकतम मान . . . . . . है और यह . . . . . . बिंदु पर प्राप्त होता है।

एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने $A$ और $B$ बनाता है। इस उद्देश्य के लिए तीन मशीनों की आवश्यकता होती है और प्रत्येक खिलौने के लिए मशीनों पर आवश्यक समय (मिनटों में) नीचे दिया गया है:

खिलौनों के प्रकार	मशीन-$I$	मशीन-$II$	मशीन-$III$
$A$	$12$	$18$	$6$
$B$	$6$	$0$	$9$

प्रत्येक मशीन प्रतिदिन अधिकतम $6 \, \text{घंटे}$ $(360 \, \text{मिनट})$ के लिए उपलब्ध है। यदि प्रकार $A$ के प्रत्येक खिलौने पर लाभ $Rs. \, 7.50$ है और प्रकार $B$ के प्रत्येक खिलौने पर लाभ $Rs. \, 5$ है,तो अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए प्रतिदिन प्रत्येक प्रकार के कितने खिलौने बनाए जाने चाहिए,यह ज्ञात कीजिए।