रेखाओं $\overline{r}=(3 \bar{i}-5 \bar{j}+2 \bar{k})+t(4 \bar{i}+3 \bar{j}-\bar{k})$ और $\overline{r}=(\bar{i}+2 \bar{j}-4 \bar{k})+s(6 \bar{i}+3 \bar{j}-2 \bar{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी है

मान लीजिए कि बिंदु $(\lambda, 2, 3)$ से रेखा $\frac{x-4}{1} = \frac{y-9}{2} = \frac{z-5}{1}$ पर डाले गए लंब का पाद $(1, \mu, 2)$ है। तो रेखाओं $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z+4}{6}$ और $\frac{x-\lambda}{2} = \frac{y-\mu}{3} = \frac{z+5}{6}$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $A \equiv (\lambda + 2, 1 - 2\lambda, \lambda + 2)$ और $B \equiv (2k + 1, k, k + 1)$ जहाँ $\lambda, k \in \mathbb{R}$ है। तो $A$ और $B$ के बीच की न्यूनतम दूरी है -

बिंदु $(2, 3, -4)$ से गुजरने वाली और $XOZ$ समतल के लंबवत रेखा का समीकरण है

यदि रेखाएँ $\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{2k} = \frac{z - 3}{2}$ और $\frac{x - 1}{3k} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 6}{-5}$ एक-दूसरे पर लंब हैं,तो $k$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $M$ और $N$ बिंदु $P(a, a, a)$ से रेखाओं $L_1: x-y=0, z=1$ और $L_2: x+y=0, z=-1$ पर खींचे गए लंब के पाद हैं। यदि $\angle MPN=90^{\circ}$ है,तो $a^2=$