ઉપવલય $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{4}=1$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=16$ ના સામાન્ય સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો.

ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$,જ્યાં $y_1 < 0$ અને $y_2 < 0$,એ ઉપવલય $x^2 + 4y^2 = 4$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ છે. નાભિલંબ $PQ$ ધરાવતા પરવલયોના સમીકરણો કયા છે?
$(A) x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$
$(B) x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$
$(C) x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$
$(D) x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$

ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ ના બિંદુ $\left( 2, \frac{3}{2} \right)$ આગળનો અભિલંબ એક પરવલયને સ્પર્શે છે,જેનું સમીકરણ છે

જો $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ અને $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$ ના નાભિઓ એકરૂપ હોય,તો $a$ નું મૂલ્ય શોધો.

એક દ્વિઘાત બહુપદી $y = f(x)$ જેનો અચળ પદ $3$ છે,તે $x$-અક્ષને સ્પર્શતી નથી કે છેદતી નથી અને રેખા $x = 1$ ની સાપેક્ષે સંમિત છે. બહુપદીના અગ્ર પદનો સહગુણક એકમ છે. કાર્ટેઝિયન લંબચોરસ યામ પદ્ધતિ $OXY$ માં પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $y = f(x)$ પર એક બિંદુ $A(x_1, y_1)$ જેનો $x$-યામ $x_1 = 1$ છે અને બિંદુ $B(x_2, y_2)$ જેનો $y$-યામ $y_2 = 11$ છે,આપેલ છે,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે. દ્વિઘાત બહુપદીનું શિરોબિંદુ શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ અતિવલય $2x^2 - 2y^2 = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે. જો ઉપવલય અને અતિવલય એકબીજાને કાટખૂણે છેદે,તો ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈનો વર્ગ $................$ છે.