एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल की दोगुनी है। यदि उनके बीच के कोण की स्पर्शज्या (tangent) $\frac{1}{3}$ है,तो रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना दो रेखाओं की ढाल $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं,जहाँ $m_{1} = 2m_{2}$ है।
हम जानते हैं कि यदि $m_{1}$ और $m_{2}$ ढाल वाली दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$ होता है।
दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{1}{3},$ इसलिए $\frac{1}{3} = \left| \frac{2m_{2} - m_{2}}{1 + (2m_{2})m_{2}} \right| = \left| \frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} \right|$.
इसका अर्थ है कि $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = \frac{1}{3}$ या $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = -\frac{1}{3}$.
स्थिति $I$: $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow 2m_{2}^{2} - 3m_{2} + 1 = 0$ $\Rightarrow (2m_{2} - 1)(m_{2} - 1) = 0$.
अतः,$m_{2} = \frac{1}{2}$ (जिससे $m_{1} = 1$ प्राप्त होता है) या $m_{2} = 1$ (जिससे $m_{1} = 2$ प्राप्त होता है)।
स्थिति $II$: $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = -\frac{1}{3}$ $\Rightarrow 2m_{2}^{2} + 3m_{2} + 1 = 0$ $\Rightarrow (2m_{2} + 1)(m_{2} + 1) = 0$.
अतः,$m_{2} = -\frac{1}{2}$ (जिससे $m_{1} = -1$ प्राप्त होता है) या $m_{2} = -1$ (जिससे $m_{1} = -2$ प्राप्त होता है)।
इस प्रकार,ढाल के संभावित जोड़े $(1, \frac{1}{2}), (2, 1), (-1, -\frac{1}{2}), (-2, -1)$ हैं।