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Question

(A) माना दिया गया योग $S$ है। श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\sin(45^{\circ}+2k) \sin(46^{\circ}+2k)}$ है।$\sin 1^{\circ}$ से गुणा और भाग करने प

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$1$

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(A) माना दिया गया योग $S$ है। श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\sin(45^{\circ}+2k) \sin(46^{\circ}+2k)}$ है।$\sin 1^{\circ}$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} \frac{\sin((46^{\circ}+2k)-(45^{\circ}+2k))}{\sin(45^{\circ}+2k) \sin(46^{\circ}+2k)}$$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} (\cot(45^{\circ}+2k) - \cot(46^{\circ}+2k))$योग का विस्तार करने पर:$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\cot 45^{\circ} - \cot 46^{\circ}) + (\cot 47^{\circ} - \cot 48^{\circ}) + \ldots + (\cot 133^{\circ} - \cot 134^{\circ})]$चूंकि $\cot(180^{\circ}-	heta) = -\cot 	heta$,इसलिए $\cot 133^{\circ} = -\cot 47^{\circ}$ और $\cot 134^{\circ} = -\cot 46^{\circ}$ है।इन मानों को रखने पर,पद कट जाते हैं:$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot 45^{\circ}) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$.दिया गया है $\frac{1}{\sin(n^{\circ})} = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$,अतः $n = 1$।

सबसे छोटा पूर्णांक $n$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\frac{1}{\sin 45^{\circ} \sin 46^{\circ}}+\frac{1}{\sin 47^{\circ} \sin 48^{\circ}}+\ldots+\frac{1}{\sin 133^{\circ} \sin 134^{\circ}}=\frac{1}{\sin \left(n^{\circ}\right)}$ हो।

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