सबसे छोटा अंतराल [a, b] जिसके लिए int_0^1 fra | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 + x^4}}$ है।$x \in [0, 1]$ के लिए,हमारे पास $0 \le x^4 \le 1$ है।सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें $1 \le 1 +

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$[\frac{1}{\sqrt{2}}, 1]$

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(A) माना $I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 + x^4}}$ है।$x \in [0, 1]$ के लिए,हमारे पास $0 \le x^4 \le 1$ है।सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें $1 \le 1 + x^4 \le 2$ प्राप्त होता है।वर्गमूल लेने पर,$1 \le \sqrt{1 + x^4} \le \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।व्युत्क्रम लेने पर,असमिका उलट जाती है: $\frac{1}{\sqrt{2}} \le \frac{1}{\sqrt{1 + x^4}} \le 1$।$0$ से $1$ तक $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2}} dx \le \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 + x^4}} \le \int_0^1 1 dx$ प्राप्त होता है।इसे सरल करने पर $\frac{1}{\sqrt{2}}(1 - 0) \le I \le 1(1 - 0)$ प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{\sqrt{2}} \le I \le 1$ देता है।अतः,सबसे छोटा अंतराल $[\frac{1}{\sqrt{2}}, 1]$ है।

सबसे छोटा अंतराल $[a, b]$ जिसके लिए $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 + x^4}} \in [a, b]$ है,वह है

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