n નું સૌથી નાનું ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધો જેથી | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $z = \frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}$.$\sin 	heta = \cos(\frac{\pi}{2}-	heta

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $z = \frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}$.$\sin 	heta = \cos(\frac{\pi}{2}-	heta)$ અને $\cos 	heta = \sin(\frac{\pi}{2}-	heta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\alpha = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$ લો.તેથી $z = \frac{1+\cos \alpha + i \sin \alpha}{1+\cos \alpha - i \sin \alpha} = \frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2} + i \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} - i \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{e^{i \alpha/2}}{e^{-i \alpha/2}} = e^{i \alpha}$.આમ,$z^n = e^{i n \alpha} = e^{i n (3\pi/8)} = \cos(\frac{3n\pi}{8}) + i \sin(\frac{3n\pi}{8})$.$z^n = 1$ માટે,$\sin(\frac{3n\pi}{8}) = 0$ અને $\cos(\frac{3n\pi}{8}) = 1$ હોવું જોઈએ.આનો અર્થ એ છે કે $\frac{3n\pi}{8} = 2k\pi$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.$3n = 16k \implies n = \frac{16k}{3}$.સૌથી નાના ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$k=3$ લેતા,$n = 16$ મળે છે.

$n$ નું સૌથી નાનું ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધો જેથી $\left[\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right]^{n} = 1$ થાય.

Similar Questions

$12^{\text{th}}$ અને $30^{\text{th}}$ એકમના મૂળ (roots of unity) વચ્ચે સામાન્ય મૂળની સંખ્યા કેટલી છે?

સમીકરણ $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ ના ભિન્ન ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $x^{2}+x+1=0$ હોય, તો $(x+\frac{1}{x})^{4}+(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{4}+(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})^{4}+\dots+(x^{25}+\frac{1}{x^{25}})^{4}$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $\omega \neq 1$ એ એકમનું ઘનમૂળ હોય,તો $(1+\omega)$ ના $7^{\text{th}}$ મૂળ પૈકીનું એક મૂળ કયું છે?

જો $\alpha$ એ એકમનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ હોય,તો $n \in N$ માટે,$\alpha^{3n + 1} + \alpha^{3n + 3} + \alpha^{3n + 5}$ નું મૂલ્ય શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module