$y{e^{ - x/y}}dx - (x{e^{ - x/y}} + {y^3})dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વક્રોનું એવું કુળ શોધો કે જેથી કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પરના સ્પર્શક અને વક્ર $xy = c^2$ ના છેદબિંદુ પરના સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોય.

$\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}$ ના વ્યાપક ઉકેલ દ્વારા દર્શાવેલ દરેક વક્ર,$\frac{dy}{dx} + \frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x} = 0$ ના વ્યાપક ઉકેલ દ્વારા દર્શાવેલ દરેક વક્રને $\theta$ ખૂણે છેદે છે. તો,$4\theta - \frac{\pi}{2} =$

ધારો કે $(1, 1)$ અને $(\frac{1}{10}, 100)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક ધન $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો $PA: PB = 1: k$ હોય અને $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $e^{\frac{dy}{dx}} = 2x + 1$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(0) = 2$,તો $4y(1) - 5 \log_e 3$ ની કિંમત શોધો.

એક વિધેય $y = f(x)$ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y = \cos x - \sin x$ નું સમાધાન કરે છે,જેમાં પ્રારંભિક શરત છે કે જ્યારે $x \rightarrow \infty$ થાય ત્યારે $y$ સીમિત (bounded) રહે છે. $y = f(x)$,$y = \cos x$ અને $y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{y-x+1}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.