अवकल समीकरण (x^2 - xy)dy = (xy + y^2)dx का हल | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - xy)dy = (xy + y^2)dx$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{xy + y^2}{x^2 - xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह एक समघातीय अवक

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$xy = ce^{-x/y}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - xy)dy = (xy + y^2)dx$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{xy + y^2}{x^2 - xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।माना $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x(vx) + (vx)^2}{x^2 - x(vx)} = \frac{v + v^2}{1 - v}$।$x\frac{dv}{dx} = \frac{v + v^2}{1 - v} - v = \frac{v + v^2 - v + v^2}{1 - v} = \frac{2v^2}{1 - v}$।चरों को अलग करने पर: $\frac{1 - v}{v^2} dv = \frac{2}{x} dx$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-2} - v^{-1}) dv = 2 \int \frac{1}{x} dx$।$-v^{-1} - \ln|v| = 2\ln|x| + C$।$v = y/x$ रखने पर: $-\frac{x}{y} - \ln|y/x| = 2\ln|x| + C$।$-\frac{x}{y} - \ln|y| + \ln|x| = 2\ln|x| + C$।$-\frac{x}{y} = \ln|y| + \ln|x| + C = \ln|xy| + C$।अतः,$xy = e^{-x/y - C} = Ce^{-x/y}$।

अवकल समीकरण $(x^2 - xy)dy = (xy + y^2)dx$ का हल ज्ञात कीजिए।

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दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $2xy + y^2 - 2x^2 \frac{dy}{dx} = 0$; जब $x = 1$ तब $y = 2$.

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