अवकल समीकरण frac{dy}{dx} - frac{y+3x}{log_{e} | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + 3 = \frac{y+3x}{\log_{e}(y+3x)}$.माना $z = y + 3x$. तब $\frac{dz}{dx} = \frac{dy}{dx} + 3$.इसे समीकरण में प

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$x - \frac{1}{2}(\log_{e}(y+3x))^{2} = C$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + 3 = \frac{y+3x}{\log_{e}(y+3x)}$.माना $z = y + 3x$. तब $\frac{dz}{dx} = \frac{dy}{dx} + 3$.इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dz}{dx} = \frac{z}{\log_{e}z}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{\log_{e}z}{z} dz = dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{\log_{e}z}{z} dz = \int dx$.माना $u = \log_{e}z$,तो $du = \frac{1}{z} dz$. समाकलन $\int u du = x + C$ हो जाता है।अतः,$\frac{u^{2}}{2} = x + C$.$u = \log_{e}(y+3x)$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2}(\log_{e}(y+3x))^{2} = x + C$.पुनर्व्यवस्थित करने पर $x - \frac{1}{2}(\log_{e}(y+3x))^{2} = C$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - \frac{y+3x}{\log_{e}(y+3x)} + 3 = 0$ का हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है।)

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