વિકલ સમીકરણ (1+x) frac{dy}{dx} - xy = 1-x નો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x) \frac{dy}{dx} - xy = 1-x$. તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં લખવા માટે $(1+x)$ વડે ભાગતા: $\frac{dy

Vedclass · Accepted Answer

$y(1+x) = x + ce^x$,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x) \frac{dy}{dx} - xy = 1-x$. તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં લખવા માટે $(1+x)$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}y = \frac{1-x}{1+x}$. અહીં,$P(x) = -\frac{x}{1+x} = -1 + \frac{1}{1+x}$ અને $Q(x) = \frac{1-x}{1+x}$. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (-1 + \frac{1}{1+x}) dx} = e^{-x + \ln(1+x)} = (1+x)e^{-x}$. વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે. $y(1+x)e^{-x} = \int (\frac{1-x}{1+x}) (1+x)e^{-x} dx + c = \int (1-x)e^{-x} dx + c$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int (1-x)e^{-x} dx = (1-x)(-e^{-x}) - \int (-1)(-e^{-x}) dx = -(1-x)e^{-x} - \int e^{-x} dx = (x-1)e^{-x} + e^{-x} + c = xe^{-x} + c$. તેથી,$y(1+x)e^{-x} = xe^{-x} + c$. બંને બાજુ $e^x$ વડે ગુણતા,આપણને $y(1+x) = x + ce^x$ મળે છે.

વિકલ સમીકરણ $(1+x) \frac{dy}{dx} - xy = 1-x$ નો ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(1 + xy^2(1 + \log_e x))$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $x > 0$ અને $y(1) = 3$. તો $\frac{y^2(x)}{9}$ ની કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $(1 - x^2) \frac{dy}{dx} - xy = 1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) શોધો

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^2}{1 + x^3}y = \frac{\sin^2 x}{1 + x^3}$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module