अवकल समीकरण cos(x+y) dy = dx का हल ज्ञात कीजि | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\cos(x+y) dy = dx$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} = \sec(x+y)$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $x+y = t$. तब $1 + \frac{dy}{dx} = \f

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$y = 	an \left(\frac{x+y}{2}ight)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\cos(x+y) dy = dx$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} = \sec(x+y)$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $x+y = t$. तब $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$ प्राप्त होता है।इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx} - 1 = \sec(t) \Rightarrow \frac{dt}{dx} = 1 + \sec(t) = \frac{1+\cos(t)}{\cos(t)}$.चरों को अलग करने पर: $\int \frac{\cos(t)}{1+\cos(t)} dt = \int dx$.सर्वसमिका $1+\cos(t) = 2\cos^2(t/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $\int \frac{\cos(t)}{2\cos^2(t/2)} dt = \int dx$ प्राप्त होता है।चूंकि $\cos(t) = 2\cos^2(t/2) - 1$,समाकलन $\int \frac{2\cos^2(t/2)-1}{2\cos^2(t/2)} dt = \int dx$ हो जाता है।इसका सरल रूप $\int (1 - \frac{1}{2}\sec^2(t/2)) dt = \int dx$ है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $t - 	an(t/2) = x + C$.$t = x+y$ रखने पर: $(x+y) - 	an((x+y)/2) = x + C \Rightarrow y - 	an((x+y)/2) = C$.चूंकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$0 - 	an(0/2) = C \Rightarrow C = 0$.अतः,हल $y = 	an \left(\frac{x+y}{2}ight)$ है।

अवकल समीकरण $\cos(x+y) dy = dx$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $y(0) = 0$ दिया गया है।

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