વિકલ સમીકરણ 3 x y' - 3 y + (x^2 - y^2)^{1/2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $3 x y' - 3 y + \sqrt{x^2 - y^2} = 0$. $x$ વડે ભાગતા: $3 y' - 3 \frac{y}{x} + \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} = 0$. ધારો કે $y = vx$,

Vedclass · Accepted Answer

$3 \cos^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \ln |x|$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $3 x y' - 3 y + \sqrt{x^2 - y^2} = 0$. $x$ વડે ભાગતા: $3 y' - 3 \frac{y}{x} + \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} = 0$. ધારો કે $y = vx$, તેથી $y' = v + x \frac{dv}{dx}$. કિંમત મૂકતા: $3(v + x \frac{dv}{dx}) - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$. $3v + 3x \frac{dv}{dx} - 3v + \sqrt{1 - v^2} = 0$. $3x \frac{dv}{dx} = -\sqrt{1 - v^2}$. ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{-dv}{\sqrt{1 - v^2}} = \int \frac{1}{3} \frac{dx}{x}$. $\cos^{-1}(v) = \frac{1}{3} \ln |x| + C$. $y(1) = 1$ હોવાથી, $x = 1$ ત્યારે $v = \frac{y}{x} = 1$. $\cos^{-1}(1) = \frac{1}{3} \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$. તેથી, $\cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{1}{3} \ln |x|$, જેનો અર્થ છે કે $3 \cos^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln |x|$.

વિકલ સમીકરણ $3 x y' - 3 y + (x^2 - y^2)^{1/2} = 0$ નો ઉકેલ, જે $y(1) = 1$ શરતનું પાલન કરે છે, તે શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$ નો ઉકેલ શોધો (જ્યાં $c$ અચળાંક છે):

દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $\left(x^{2}+x y\right) d y=\left(x^{2}+y^{2}\right) d x$ એ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે અને તેનો ઉકેલ મેળવો.

જો એક વક્ર $y=f(x),$ જે બિંદુ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તે વિકલ સમીકરણ $2 x^{2} dy=\left(2 xy+y^{2}\right) dx$ નો ઉકેલ હોય,તો $f\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ નો ઉકેલ શોધો, જ્યાં $x=\sqrt{3}$ હોય ત્યારે $y=1$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module