अवकल समीकरण x cos x frac{dy}{dx} + (x sin x + | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \cos x \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$. $x \cos x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + (	an x + \frac{1}{x}) y =

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$x y \sec x - 	an x = C$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \cos x \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$. $x \cos x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + (	an x + \frac{1}{x}) y = \frac{\sec x}{x}$. यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = 	an x + \frac{1}{x}$ और $Q = \frac{\sec x}{x}$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P dx} = e^{\int (	an x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln(\sec x) + \ln(x)} = e^{\ln(x \sec x)} = x \sec x$. हल इस प्रकार है: $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$. मान रखने पर: $y(x \sec x) = \int \frac{\sec x}{x} \cdot (x \sec x) dx + C$. $x y \sec x = \int \sec^2 x dx + C$. $x y \sec x = 	an x + C$. अतः, $x y \sec x - 	an x = C$.

अवकल समीकरण $x \cos x \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$ का हल है

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अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है

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