अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{xy}{x^2 + y^2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ है।चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,हम $y = vx$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिसका अर्थ है

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$ay^2 = e^{x^2/y^2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ है।चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,हम $y = vx$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$।अब,$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$।चरों को अलग करने पर: $\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$,जो सरल होकर $(\frac{1}{v^3} + \frac{1}{v}) dv = -\frac{dx}{x}$ हो जाता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{1}{x} dx$।इससे $-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$ प्राप्त होता है।$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln(\frac{y}{x}) = -\ln|x| + C$।$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C$,जो सरल होकर $\ln|y| - \frac{x^2}{2y^2} = C$ हो जाता है।अतः $\ln|y| = \frac{x^2}{2y^2} + C$,जिसका अर्थ है $y = e^{\frac{x^2}{2y^2} + C} = k e^{\frac{x^2}{2y^2}}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y^2 = k^2 e^{\frac{x^2}{y^2}}$। यदि हम $a = k^2$ लें,तो $ay^2 = e^{x^2/y^2}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ का हल क्या है?

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