વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} = frac{xy}{x^2 + y^2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ છે.આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,આપણે $y = vx$ આદેશ લઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{d

Vedclass · Accepted Answer

$ay^2 = e^{x^2/y^2}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ છે.આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,આપણે $y = vx$ આદેશ લઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$.હવે,$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$.ચલને અલગ કરતા: $\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$,જેનું સાદું રૂપ $(\frac{1}{v^3} + \frac{1}{v}) dv = -\frac{dx}{x}$ થાય છે.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.આથી $-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$ મળે છે.$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln(\frac{y}{x}) = -\ln|x| + C$.$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C$,જેનું સાદું રૂપ $\ln|y| - \frac{x^2}{2y^2} = C$ થાય છે.તેથી $\ln|y| = \frac{x^2}{2y^2} + C$,એટલે કે $y = e^{\frac{x^2}{2y^2} + C} = k e^{\frac{x^2}{2y^2}}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y^2 = k^2 e^{\frac{x^2}{y^2}}$. જો $a = k^2$ લઈએ,તો $ay^2 = e^{x^2/y^2}$ મળે છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ નો ઉકેલ શું છે?

Similar Questions

સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $x^{2} \frac{dy}{dx} = x^{2} + xy - 2y^{2}$ એ સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x^2 \frac{dy}{dx} + xy = x^2 + y^2$,$x > \frac{1}{e}$,નો ઉકેલ છે,જે $y(1) = 0$ નું સમાધાન કરે છે. તો $2 \frac{(y(e))^2}{y(e^2)}$ ની કિંમત $....$ છે.

વિકલ સમીકરણ $x^2+y^2-2xy \frac{dy}{dx}=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શું છે? (જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.)

દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $2 y e^{\frac{x}{y}} dx + (y - 2 x e^{\frac{x}{y}}) dy = 0$ સમપરિમાણીય છે અને તેનો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યાં $y = 1$ હોય ત્યારે $x = 0$ છે.

વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ નો ઉકેલ શોધો, જ્યાં $x=\sqrt{3}$ હોય ત્યારે $y=1$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module