દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $2 y e^{\frac{x}{y}} dx + (y - 2 x e^{\frac{x}{y}}) dy = 0$ સમપરિમાણીય છે અને તેનો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યાં $y = 1$ હોય ત્યારે $x = 0$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{dx}{dy} = \frac{2 x e^{\frac{x}{y}} - y}{2 y e^{\frac{x}{y}}}$ ........... $(1)$
ધારો કે $F(x, y) = \frac{2 x e^{\frac{x}{y}} - y}{2 y e^{\frac{x}{y}}}$.
તો $F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda(2 x e^{\frac{x}{y}} - y)}{\lambda(2 y e^{\frac{x}{y}})} = \lambda^0 F(x, y)$.
આમ,$F(x, y)$ એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે. તેથી,આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
તેને ઉકેલવા માટે,આપણે $x = vy$ આદેશ લઈએ છીએ ........... $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ માં $x$ અને $\frac{dx}{dy}$ ની કિંમત મૂકતા:
$v + y \frac{dv}{dy} = \frac{2 v e^v - 1}{2 e^v}$
$y \frac{dv}{dy} = \frac{2 v e^v - 1}{2 e^v} - v$
$y \frac{dv}{dy} = -\frac{1}{2 e^v}$
$2 e^v dv = -\frac{dy}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int 2 e^v dv = -\int \frac{dy}{y}$.
$2 e^v = -\log |y| + C$.
$v$ ને $\frac{x}{y}$ વડે બદલતા,$2 e^{\frac{x}{y}} + \log |y| = C$ ........... $(3)$.
સમીકરણ $(3)$ માં $x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા,$2 e^0 + \log |1| = C \Rightarrow C = 2$.
સમીકરણ $(3)$ માં $C$ ની કિંમત મૂકતા,વિશિષ્ટ ઉકેલ $2 e^{\frac{x}{y}} + \log |y| = 2$ મળે છે.