अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + y cot x = 2 cos x | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2 \cos x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और

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$2y \sin x + \cos 2x = c$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2 \cos x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और $Q = 2 \cos x$ है। सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln(\sin x)} = \sin x$. व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर,$y \sin x = \int (2 \cos x \sin x) dx + c$. सर्वसमिका $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ का उपयोग करने पर,$y \sin x = \int \sin 2x dx + c$. $\sin 2x$ का समाकलन करने पर,$y \sin x = -\frac{\cos 2x}{2} + c$. $2$ से गुणा करने पर,$2y \sin x = -\cos 2x + 2c$. पदों को व्यवस्थित करने पर,$2y \sin x + \cos 2x = C$ (जहाँ $C = 2c$) प्राप्त होता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2 \cos x$ का हल है

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