समीकरण (x-4y^3) frac{dy}{dx}-y=0, (y0) का हल | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}-y=0$ जहाँ $y>0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}=y$। चूंकि $y>0$,हम लिख स

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$x+2y^3=cy$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}-y=0$ जहाँ $y>0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}=y$। चूंकि $y>0$,हम लिख सकते हैं: $\frac{dx}{dy} = \frac{x-4y^3}{y} = \frac{x}{y} - 4y^2$। यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{1}{y}$ और $Q = -4y^2$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = e^{\ln y^{-1}} = \frac{1}{y}$। व्यापक हल है: $x \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dy + C$। मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int (-4y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + C$। $\frac{x}{y} = \int -4y dy + C$। $\frac{x}{y} = -4 \cdot \frac{y^2}{2} + C = -2y^2 + C$। $y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x = -2y^3 + Cy$,जिसे $x+2y^3=Cy$ के रूप में लिखा जा सकता है।

समीकरण $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}-y=0, (y>0)$ का हल ज्ञात कीजिए।

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