$^{10}C_{x-1} > 2 \cdot ^{10}C_x$ નો ઉકેલ ગણ શું છે?

એક લાઈબ્રેરીમાં $n$ ભિન્ન પુસ્તકો છે અને દરેકની $p$ નકલો છે. એક અથવા એક કરતાં વધારે પુસ્તકો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી થાય?

એક છોકરાએ $12$ ઉપલબ્ધ અભ્યાસક્રમોમાંથી પાંચ અભ્યાસક્રમો પસંદ કરવાના છે,જેમાંથી $5$ અભ્યાસક્રમો ભાષાના અભ્યાસક્રમો છે. જો તે વધુમાં વધુ બે ભાષાના અભ્યાસક્રમો પસંદ કરી શકે,તો તે પાંચ અભ્યાસક્રમો કેટલી રીતે પસંદ કરી શકે?

એક પરીક્ષક $8$ પ્રશ્નોને $30$ ગુણ કેવી રીતે ફાળવી શકે,જો દરેક પ્રશ્નને ઓછામાં ઓછા $2$ ગુણ આપવાના હોય?

$22$ ખેલાડીઓમાંથી $11$ ખેલાડીઓની ટીમ પસંદ કરવાની છે. જો $2$ ચોક્કસ ખેલાડીઓને દરેક ટીમમાં સામેલ કરવાના હોય અને $4$ ચોક્કસ ખેલાડીઓને હંમેશા બહાર રાખવાના હોય,તો આ પસંદગી કેટલી રીતે કરી શકાય?

$^{47}C_4 + \sum_{r=1}^5 {}^{52-r}C_3 = $