વિદ્યાર્થીઓ $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{10}$ ને $3$ જૂથો $A, B$ અને $C$ માં એવી રીતે વહેંચવાના છે કે જેથી દરેક જૂથમાં ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી હોય અને જૂથ $C$ માં વધુમાં વધુ $3$ વિદ્યાર્થીઓ હોય. તો આવા જૂથો બનાવવાની કુલ શક્યતાઓની સંખ્યા ........ છે.

ધારો કે $n \geq 3$ એક પૂર્ણાંક છે. $(1, 2, \ldots, n)$ ના ક્રમચય $\sigma = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ માટે,આપણે $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. ધારો કે $S_\sigma$ એ $f_\sigma(x) = 0$ ના બીજનો સરવાળો છે અને $S$ એ $(1, 2, \ldots, n)$ ના તમામ ક્રમચયો $\sigma$ પર $S_\sigma$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો દર્શાવે છે. તો,

ધારો કે $n_1 < n_2 < n_3 < n_4 < n_5$ એવા ધન પૂર્ણાંકો છે કે જેથી $n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=20$ થાય. તો આવી ભિન્ન ગોઠવણીઓ $(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5)$ ની સંખ્યા શોધો.

ધોરણ $10$ માં $5$ વિદ્યાર્થીઓ,ધોરણ $11$ માં $6$ વિદ્યાર્થીઓ અને ધોરણ $12$ માં $8$ વિદ્યાર્થીઓ છે. જો તેમની પાસેથી $10$ વિદ્યાર્થીઓની પસંદગી એવી રીતે કરવામાં આવે કે જેમાં દરેક ધોરણમાંથી ઓછામાં ઓછા $2$ વિદ્યાર્થીઓ હોય અને ધોરણ $10$ અને $11$ ના કુલ $11$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી વધુમાં વધુ $5$ વિદ્યાર્થીઓ હોય,તો તે રીતોની સંખ્યા $100k$ છે,તો $k$ ની કિંમત $......$ છે.

બે અંકની એવી કુલ કેટલી સંખ્યાઓ $n$ છે કે જેથી $3^{n} + 7^{n}$ એ $10$ નો ગુણક હોય? ..... .

શબ્દ $\text{MATHS}$ ના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા $6$-અક્ષરી શબ્દોની સંખ્યા (અર્થપૂર્ણ કે અર્થહીન) શોધો,જેમાં વપરાયેલ દરેક અક્ષર ઓછામાં ઓછી બે વાર આવે.