श्रेणी 1^3+3^3+5^3+7^3+ldots के n पदों का योग | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = (2n-1)^3$ है।हमें $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3$ ज्ञात करना है।पद का विस्तार करने पर: $(2k-1)^3 = 8k^3 - 12k^2 + 6k -

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$n^2(2n^2-1)$

Vedclass · Answer

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = (2n-1)^3$ है।हमें $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3$ ज्ञात करना है।पद का विस्तार करने पर: $(2k-1)^3 = 8k^3 - 12k^2 + 6k - 1$.अब, $S_n = \sum_{k=1}^{n} (8k^3 - 12k^2 + 6k - 1) = 8 \sum k^3 - 12 \sum k^2 + 6 \sum k - \sum 1$.मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:$\sum k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$, $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum 1 = n$.इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$S_n = 8 \left[ \frac{n^2(n+1)^2}{4} \right] - 12 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] - n$.$S_n = 2n^2(n^2+2n+1) - 2n(2n^2+3n+1) + 3n^2+3n - n$.$S_n = 2n^4 + 4n^3 + 2n^2 - 4n^3 - 6n^2 - 2n + 3n^2 + 2n$.$S_n = 2n^4 - n^2 = n^2(2n^2-1)$.

श्रेणी $1^3+3^3+5^3+7^3+\ldots$ के $n$ पदों का योग क्या है?

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