1, 2, 3, ldots, n સંખ્યાઓના તફાવતના તમામ નિરપ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) સરવાળો $S = \sum \limits_{1 \leq j < i \leq n} (i-j)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.દરેક તફાવત $k = i-j$ કેટલી વાર આવે છે તેની ગણતરી કરીને આપણે આ સરવાળાને

Vedclass · Accepted Answer

${ }^{n+1} C_3$

Vedclass · Answer

(C) સરવાળો $S = \sum \limits_{1 \leq j દરેક તફાવત $k = i-j$ કેટલી વાર આવે છે તેની ગણતરી કરીને આપણે આ સરવાળાને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.નિશ્ચિત તફાવત $k$ માટે,જ્યાં $1 \leq k \leq n-1$,જોડીઓ $(j, i)$ એવી છે કે $i-j = k$ એ $(1, 1+k), (2, 2+k), \ldots, (n-k, n)$ છે.આવી બરાબર $(n-k)$ જોડીઓ છે.તેથી,કુલ સરવાળો $S = \sum \limits_{k=1}^{n-1} k(n-k)$ છે.$S = n \sum \limits_{k=1}^{n-1} k - \sum \limits_{k=1}^{n-1} k^2$.સૂત્રો $\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$ અને $\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $m = n-1$:$S = n \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} = \frac{n^2(n-1)}{2} - \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$.$S = \frac{n(n-1)}{6} [3n - (2n-1)] = \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$.કારણ કે ${ }^{n+1} C_3 = \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$,તેથી સરવાળો ${ }^{n+1} C_3$ થાય છે.

Similar Questions

એક સમતલમાં $16$ બિંદુઓ છે જેમાંથી $6$ બિંદુઓ સમરેખ છે,તો આ બિંદુઓને જોડીને કેટલી રેખાઓ દોરી શકાય?

વર્તુળ પરના $21$ બિંદુઓમાંથી કેટલી જીવાઓ દોરી શકાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module