प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं में से एक साथ दो स | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का वर्ग इस प्रकार है:${\left\{ \frac{n(n + 1)}{2} \right\}^2} = {(1 + 2 + \dots + n)^2} = \sum

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$\frac{1}{24}n(n - 1)(n + 1)(3n + 2)$

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(A) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का वर्ग इस प्रकार है:${\left\{ \frac{n(n + 1)}{2} \right\}^2} = {(1 + 2 + \dots + n)^2} = \sum_{r=1}^n {r^2} + 2\sum_{1 \le s अतः,एक साथ दो संख्याएँ लेकर उनके गुणनफलों का योग:$\sum_{1 \le s वर्गों के योग का सूत्र $\sum_{r=1}^n {r^2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ रखने पर:$= \frac{1}{2} \left[ \frac{n^2(n + 1)^2}{4} - \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \right]$$= \frac{n(n + 1)(n - 1)(3n + 2)}{24}$

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं में से एक साथ दो संख्याएँ लेकर उनके सभी गुणनफलों का योग क्या है?

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$\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) \ldots(k+r-1) =$

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