एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग 3 है। इसके पदो | vedclass

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Question

(A) माना अनंत गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।दिया है,$\fr

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$\frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, .....$

Vedclass · Answer

(A) माना अनंत गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।दिया है,$\frac{a}{1-r} = 3$,अतः $a = 3(1-r)$ ..... $(i)$.इसके पदों के वर्गों से बनी श्रेणी $a^2, a^2r^2, a^2r^4, .....$ है। यह भी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।इस श्रेणी का योग $\frac{a^2}{1-r^2} = 3$ है ..... $(ii)$.$(ii)$ में $a = 3(1-r)$ रखने पर:$\frac{[3(1-r)]^2}{1-r^2} = 3$$\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$$\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$$3 - 3r = 1 + r$$4r = 2 \implies r = \frac{1}{2}$.$r = \frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर:$a = 3(1 - \frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$.अतः श्रेणी $a, ar, ar^2, .....$ का मान $\frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, .....$ है।

एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $3$ है। इसके पदों के वर्गों से बनी श्रेणी का योग भी $3$ है। तो प्रथम श्रेणी है

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