અંતરાલ $[-1, 3]$ માં વિધેય $f(x) = |x^2 - 5x + 6| - 3x + 2$ ની નિરપેક્ષ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$36 \ m$ લંબાઈના તારમાંથી જો મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો લંબચોરસ બનાવવામાં આવે,તો તેની બે પાસપાસેની બાજુઓ મીટરમાં કેટલી હશે?

જો $f(x) = 1 + 2x^2 + 2^2 x^4 + \dots + 2^{10} x^{20}$ હોય,તો $f(x)$ ને:

જો $x_0$ એ $f(x) = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ નું સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ હોય,જ્યાં $\bar{a} = x \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$,$\bar{b} = -2 \hat{i} + x \hat{j} - \hat{k}$,$\bar{c} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$ હોય,તો $x = x_0$ આગળ $\bar{a} \cdot \bar{b}$ ની કિંમત શોધો.

એક ગોળાની અંદર મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતો શંકુ અંતર્ગત છે. તો શંકુની ઊંચાઈ અને ગોળાના વ્યાસનો ગુણોત્તર શોધો.

ધારો કે $f_1:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ અને $f_2:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t - j)^j dt, x > 0$
અને
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450, x > 0,$
જ્યાં,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ માટે,$\prod_{i=1}^n a_i$ એ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ નો ગુણાકાર દર્શાવે છે. ધારો કે $m_i$ અને $n_i$ અનુક્રમે અંતરાલ $(0, \infty)$ માં વિધેય $f_i, i=1, 2$ માટે સ્થાનિક ન્યૂનતમ અને સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.
$(1)$ $2m_1 + 3n_1 + m_1n_1$ નું મૂલ્ય.
$(2)$ $6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2$ નું મૂલ્ય.
$(1)$ અને $(2)$ માટે જવાબ આપો.