श्रेणी $9+99+999+\ldots$ के प्रथम $10$ पदों का योग क्या है?

श्रेणी $1^{2} + (1^{2} + 2^{2}) + (1^{2} + 2^{2} + 3^{2}) + \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

$x \in \mathbb{R}$ के लिए,मान लीजिए $[x]$ सबसे बड़ा पूर्णांक $\le x$ दर्शाता है। श्रेणी $\left[ -\frac{1}{3} \right] + \left[ -\frac{1}{3} - \frac{1}{100} \right] + \left[ -\frac{1}{3} - \frac{2}{100} \right] + \dots + \left[ -\frac{1}{3} - \frac{99}{100} \right]$ का योग ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\ldots \infty = \frac{\pi^4}{90}$,$\frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\ldots \infty = \alpha$,और $\frac{1}{2^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{6^4}+\ldots \infty = \beta$,तो $\frac{\alpha}{\beta}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha = 1^2 + 4^2 + 8^2 + 13^2 + 19^2 + 26^2 + \ldots$ $10$ पदों तक और $\beta = \sum_{n=1}^{10} n^4$ है। यदि $4\alpha - \beta = 55k + 40$ है,तो $k$ का मान . . . . . . है।

एक वर्गाकार आधार पर गेंदों के एक अधूरे पिरामिड पर विचार करें जिसमें $18$ परतें हैं,और शीर्ष परत के प्रत्येक तरफ $13$ गेंदें हैं। तो,उस पिरामिड में गेंदों की कुल संख्या $N$ निम्नलिखित में से किस शर्त को पूरा करती है?