श्रेणी 1 cdot 3^2 + 2 cdot 5^2 + 3 cdot 7^2 + | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n(2n + 1)^2$ है।इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।$20$ पदों का योगफल ज्ञ

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$188090$

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(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n(2n + 1)^2$ है।इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।$20$ पदों का योगफल ज्ञात करने के लिए,$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (4n^3 + 4n^2 + n) = 4\sum_{n=1}^{20} n^3 + 4\sum_{n=1}^{20} n^2 + \sum_{n=1}^{20} n$ की गणना करें।मानक योगफल सूत्रों का उपयोग करने पर:$\sum_{n=1}^{N} n^3 = [\frac{N(N+1)}{2}]^2 = [\frac{20 \cdot 21}{2}]^2 = 44100$.$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 2870$.$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $S_{20} = 4(44100) + 4(2870) + 210 = 176400 + 11480 + 210 = 188090$.

श्रेणी $1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 7^2 + \dots$ के $20$ पदों तक का योगफल क्या है?

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अनंत श्रेणी $(\frac{1}{3}+\frac{4}{7})+(\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3}\times\frac{4}{7}+\frac{4^{2}}{7^{2}})+(\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{3^{2}}\times\frac{4}{7}+\frac{1}{3}\times\frac{4^{2}}{7^{2}}+\frac{4^{3}}{7^{3}}) + \dots$ का योग - के बराबर है।

यदि श्रेणी ${\left( {1\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {2\frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {3\frac{1}{5}} \right)^2} + {4^2} + \dots$ के प्रथम दस पदों का योग $\frac{16}{5}m$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए:

श्रेणी $1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ एक $A.P.$ है। यदि $\sum_{r=1}^{\infty} \frac{a_{r}}{2^{r}}=4$ है,तो $4 a_{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

संख्याएँ $a_n$,$a_0=1$ और $n \geq 0$ के लिए $a_{n+1}=3n^2+n+a_n$ द्वारा परिभाषित हैं। तो $a_n$ किसके बराबर है?

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