श्रेणी $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots$ के $n$ पदों का योगफल क्या है?

$\prod\limits_{n = 1}^{10} {\left( {\frac{{6\sum\limits_{i = 0}^n i + 1}}{{6\sum\limits_{j = 0}^n {(j - 1)} + 1}}} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

अनंत श्रेणी ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{{1 - {1^2} + {1^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{4}{{1 - {2^2} + {2^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{6}{{1 - {3^2} + {3^4}}}} \right) + \dots$ का योग क्या है?

$\text{दिया गया है, } \frac{\sin 1^{\circ}}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}} = \cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ}, \text{ तो } \frac{1}{\sin 45^{\circ} \sin 46^{\circ}} + \frac{1}{\sin 46^{\circ} \sin 47^{\circ}} + \dots + \frac{1}{\sin 89^{\circ} \sin 90^{\circ}} \text{ का मान है}$

$\sum\limits_{r = 1}^{100} {\frac{{\tan \,{2^{r - 1}}}}{{\cos \,{2^r}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ का मान ज्ञात कीजिए।