श्रेणी frac{1}{1 times 2} - frac{1}{2 times 3 | vedclass

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Question

(C) माना श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n(n+1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए, $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n

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$2 \log_{e} 2 - 1$

Vedclass · Answer

(C) माना श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n(n+1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए, $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$।अतः, $S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots$$S = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \dots$$S = 1 - 2(\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{3}) - 2(\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{5}) - \dots$$S = 1 - 2[\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots]$हम जानते हैं कि $\log_{e}(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$$x=1$ के लिए, $\log_{e} 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$अतः, $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots = 1 - \log_{e} 2$।इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर, $S = 1 - 2(1 - \log_{e} 2) = 1 - 2 + 2 \log_{e} 2 = 2 \log_{e} 2 - 1$।

श्रेणी $\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} - \dots \infty$ का योग क्या है?

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