શ્રેણી frac{1}{1 times 2} - frac{1}{2 times 3 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n(n+1)}$ છે.આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n

Vedclass · Accepted Answer

$2 \log_{e} 2 - 1$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n(n+1)}$ છે.આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.તેથી, $S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots$$S = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \dots$$S = 1 - 2(\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{3}) - 2(\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{5}) - \dots$$S = 1 - 2[\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots]$આપણે જાણીએ છીએ કે $\log_{e}(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$$x=1$ માટે, $\log_{e} 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$તેથી, $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots = 1 - \log_{e} 2$.આ કિંમત મૂકતા, $S = 1 - 2(1 - \log_{e} 2) = 1 - 2 + 2 \log_{e} 2 = 2 \log_{e} 2 - 1$.

શ્રેણી $\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} - \dots \infty$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

Similar Questions

$\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \dots$ ની કિંમત શોધો.

$1 + \frac{(\log_e n)^2}{2!} + \frac{(\log_e n)^4}{4!} + \dots = $

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots \infty = $

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{4 \cdot 9} + \dots$ ની કિંમત શોધો.

અનંત શ્રેણી $\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} - \dots \infty$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module