एक अनंत घटती गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) के पदों क | vedclass

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Question

(C) अंतराल $[-2, 3]$ पर $f(x) = x^3 + 3x - 9$ दिया गया है।सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^2 + 3$।चूंकि सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ है,फलन निरंत

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$\frac{2}{3}$

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(C) अंतराल $[-2, 3]$ पर $f(x) = x^3 + 3x - 9$ दिया गया है।सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^2 + 3$।चूंकि सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ है,फलन निरंतर वर्धमान है।अतः,$[-2, 3]$ पर अधिकतम मान $x = 3$ पर प्राप्त होता है।$f(3) = 3^3 + 3(3) - 9 = 27 + 9 - 9 = 27$।माना प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत $G.P.$ का योग $S = \frac{a}{1-r} = 27$ (समीकरण $i$)।प्रथम और द्वितीय पद के बीच का अंतर $a - ar = f'(0)$ है।$f'(0) = 3(0)^2 + 3 = 3$।अतः,$a(1-r) = 3$ (समीकरण $ii$)।समीकरण $(i)$ से,$a = 27(1-r)$। इसे $(ii)$ में रखने पर:$27(1-r)(1-r) = 3$$(1-r)^2 = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$।चूंकि यह एक घटती $G.P.$ है,$0 $r = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।

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