$(2n - 1) + 2(2n - 3) + 3(2n - 5) + \dots$ के $n$ पदों का योग क्या है?

यदि श्रेणी $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3^2}-\frac{1}{3^3}\right)+\left(\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^3 \cdot 3}+\frac{1}{2^2 \cdot 3^2}-\frac{1}{2 \cdot 3^3}+\frac{1}{3^4}\right)+\ldots$ का योग $\frac{\alpha}{\beta}$ है,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ सह-अभाज्य हैं,तो $\alpha+3\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\overline{0.037}$ का मान,जहाँ $\overline{0.037}$ संख्या $0.037037037...$ को दर्शाता है,क्या है?

मान लीजिए $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई $a$ है। त्रिभुज $ABC$ की सभी भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़कर एक नया त्रिभुज बनाया जाता है और यही प्रक्रिया अनंत बार दोहराई जाती है। यदि $P$ परिमापों का योग है और $Q$ इस प्रक्रिया में बने सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग है,तो:

माना $S_n = \sum_{k=1}^{4n} (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} k^2$ है। तो $S_n$ का मान क्या हो सकता है?
$(A) 1056$
$(B) 1088$
$(C) 1120$
$(D) 1332$

श्रेणी $\frac{2}{3} + \frac{8}{9} + \frac{26}{27} + \frac{80}{81} + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।