એક $A.P.$ ના $n$ પદો,$2n$ પદો અને $3n$ પદોના સરવાળા અનુક્રમે $S_1, S_2$ અને $S_3$ છે. સાબિત કરો કે $S_3 = 3(S_2 - S_1)$.

(N/A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$S_1 = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$S_2 = \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = n[2a + (2n-1)d]$
$S_3 = \frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d]$
હવે,પદ $3(S_2 - S_1)$ ને ધ્યાનમાં લો:
$S_2 - S_1 = n[2a + (2n-1)d] - \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$= \frac{n}{2} [2(2a + 2nd - d) - (2a + nd - d)]$
$= \frac{n}{2} [4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d]$
$= \frac{n}{2} [2a + 3nd - d]$
$= \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d]$
$3$ વડે ગુણતા:
$3(S_2 - S_1) = 3 \times \frac{n}{2} [2a + (3n-1)d] = \frac{3n}{2} [2a + (3n-1)d] = S_3$.
આમ,$S_3 = 3(S_2 - S_1)$ સાબિત થાય છે.