समीकरण निकाय $x - 2y + 3z = 5$,$2x - 2y + z = 0$,और $-x + 2y - 3z = 6$ का

यदि रैखिक समीकरण निकाय $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6$,$x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 9$,और $2x_1 + 5x_2 + ax_3 = b$ संगत है और इसके अनंत हल हैं,तो:

यदि समीकरण निकाय $x+y+2z=3$, $x+2y+3z=4$ और $x+y+cz=5$ असंगत है, तो:

मान लीजिए $M = (a_{ij})$,$i, j \in \{1, 2, 3\}$,एक $3 \times 3$ आव्यूह है जहाँ यदि $j+1$,$i$ से विभाज्य है तो $a_{ij} = 1$,अन्यथा $a_{ij} = 0$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $M$ व्युत्क्रमणीय है
$(B)$ एक शून्येतर स्तंभ आव्यूह $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$ का अस्तित्व है ताकि $M \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1 \\ -a_2 \\ -a_3 \end{bmatrix}$
$(C)$ समुच्चय $\{X \in \mathbb{R}^3 : MX = 0, X \neq 0\}$ रिक्त नहीं है,जहाँ $0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
$(D)$ आव्यूह $(M - 2I)$ व्युत्क्रमणीय है,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है

यदि रैखिक समीकरणों के निकाय $x+y-z=6$,$3x+2y-z=5$ और $2x-y-2z+3=0$ का हल $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ है,तो $\alpha+\beta=$

निम्नलिखित समीकरण प्रणाली पर विचार करें: $x+2y-3z=a$,$2x+6y-11z=b$,और $x-2y+7z=c$,जहाँ $a, b$ और $c$ वास्तविक स्थिरांक हैं। तो समीकरण प्रणाली: