દ્વિપદી વિસ્તરણ $\left( 1 - \frac{1}{x} + 3x^5 \right) \left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^8$ માં $x$ થી સ્વતંત્ર પદ કયું છે?

$\left(\frac{x}{\cos \theta}+\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{16}$ ના વિસ્તરણમાં,જો $\frac{\pi}{8} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ હોય ત્યારે $x$ થી સ્વતંત્ર પદનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\ell_{1}$ હોય અને $\frac{\pi}{16} \leq \theta \leq \frac{\pi}{8}$ હોય ત્યારે $x$ થી સ્વતંત્ર પદનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\ell_{2}$ હોય,તો ગુણોત્તર $\ell_{2} : \ell_{1}$ કેટલો થાય?

જો $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણમાં $4^{th}$ પદનો સહગુણક $56$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

$(1 + t^2)^6(1 + t^6)(1 + t^{12})$ ના વિસ્તરણમાં $t^{12}$ નો સહગુણક શોધો:

$(1+x^2)^{12}(1+x^{12})(1+x^{24})$ ના વિસ્તરણમાં $x^{24}$ નો સહગુણક શોધો.

$\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $13^{th}$ પદ $x$ થી સ્વતંત્ર છે,તો $n$ ના ભાજકોનો સરવાળો કેટલો થાય?