${\left( {{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^9}$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद है

मान लीजिए $a_0, a_1, \ldots, a_{23}$ वास्तविक संख्याएँ हैं,ताकि प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $(1+\frac{2}{5} x)^{23} = \sum_{i=0}^{23} a_i x^i$ हो। मान लीजिए $0 \leq j \leq 23$ के लिए $a_j$ संख्याओं में $a_r$ सबसे बड़ी है। तो $r$ का मान $....$ है।

$(5^{1/2} + 7^{1/6})^{642}$ के विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या क्या है?

${\left( {2x - \frac{3}{x}} \right)^6}$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद है

$(a - b)^n, n \ge 5$ के द्विपद विस्तार में,$5$ वें और $6$ वें पद का योग शून्य है। तो $\frac{a}{b}$ किसके बराबर है?

$(x^2 - x + 1)^{10} (x^2 + 1)^{15}$ के विस्तार में $x^3$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।