सात अंकों की कुल कितनी संख्याएँ हैं जिनके अंकों का योग सम (even) है?

एक हाई स्कूल में,$6$ लड़कों $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6$ और $5$ लड़कियों $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ के समूह से एक समिति बनाई जानी है।
$(i)$ मान लीजिए $\alpha_1$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $5$ सदस्य हों,जिसमें ठीक $3$ लड़के और $2$ लड़कियाँ हों।
$(ii)$ मान लीजिए $\alpha_2$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में कम से कम $2$ सदस्य हों,और लड़कों और लड़कियों की संख्या समान हो।
$(iii)$ मान लीजिए $\alpha_3$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $5$ सदस्य हों,जिनमें से कम से कम $2$ लड़कियाँ हों।
$(iv)$ मान लीजिए $\alpha_4$ उन तरीकों की कुल संख्या है जिनसे समिति बनाई जा सकती है ताकि समिति में $4$ सदस्य हों,जिसमें कम से कम $2$ लड़कियाँ हों और $M_1$ तथा $G_1$ दोनों एक साथ समिति में $NOT$ हों।

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. $\alpha_1$ का मान	$1. 136$
$Q$. $\alpha_2$ का मान	$2. 189$
$R$. $\alpha_3$ का मान	$3. 192$
$S$. $\alpha_4$ का मान	$4. 200$
	$5. 381$
	$6. 461$

सही विकल्प है:

$12! + 13! + 14!$ को विभाजित करने वाली भिन्न अभाज्य संख्याओं की संख्या है

समूह $A$ में $7$ लड़के और $3$ लड़कियाँ हैं,जबकि समूह $B$ में $6$ लड़के और $5$ लड़कियाँ हैं। यदि $5$ विद्यार्थियों को समूह $A$ से और शेष $3$ विद्यार्थियों को समूह $B$ से चुना जाना है,तो कुल $4$ लड़कों और $4$ लड़कियों को पिकनिक के लिए आमंत्रित करने के तरीकों की संख्या क्या होगी?

यदि ${}^n C_{r-1}=36$, ${}^n C_r=84$, और ${}^n C_{r+1}=126$ है, तो ${}^n C_8$ का मान ज्ञात कीजिए।

${2^n} \{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 3) \cdot (2n - 1) \}$ का मान है