ત્રિકોણમિતીય સમીકરણ $\sin ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} 2a$ નો વાસ્તવિક ઉકેલ મળે, જો

કિંમત શોધો: $\tan ^2(\sec ^{-1} 3) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 2) + \cos ^2(\cos ^{-1} \frac{2}{3} + \sin ^{-1} \frac{2}{3}) = $ . . . . . . .

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $(A)$: $x \in \mathbb{R}-\{1\}$ માટે, $\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right) = \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} x\right)$.
કારણ $(R)$: $x < 1$ માટે, $\tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x$, અને $x > 1$ માટે, $\tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = -\frac{3\pi}{4} + \tan^{-1} x$.
સાચો જવાબ છે:

ધારો કે $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$ એ તેના પ્રદેશ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે. તો $f(x)$ ના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યોનો સરવાળો છે

$\cot \left(\sum\limits_{n=1}^{50} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^{2}}\right)\right)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\cos (2\sin ^{ - 1}x) = \frac{1}{9}$ હોય,તો $x = $