असमिका $\sqrt{5x-6-x^2} + \left( \frac{\pi}{2} \int_{0}^{x} dz \right) > x \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx$ का सही हल समुच्चय क्या है?

मान लीजिए $f : [1/2, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ एक धनात्मक,अचर न होने वाला और अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f^{\prime}(x) < 2f(x)$ और $f(1/2) = 1$ है। तो $\int_{1/2}^1 f(x) dx$ का मान किस अंतराल में स्थित है?

मान लीजिए $P(x) = x^2 + bx + c$ वास्तविक गुणांकों वाला एक द्विघात बहुपद है,जहाँ $\int_{0}^{1} P(x) dx = 1$ है और $P(x)$ को $(x-2)$ से विभाजित करने पर शेषफल $5$ प्राप्त होता है। तो $9(b+c)$ का मान ज्ञात कीजिए:

निश्चित समाकलन $\int_0^1 \frac{x \, dx}{x^3 + 16}$ का मान अंतराल $[a, b]$ में स्थित है। ऐसा सबसे छोटा अंतराल है

यदि $\int_2^e {\left[ {\frac{1}{{\log x}} - \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \,dx = \alpha + \frac{\beta }{{\log 2}},$ है,तो

$a$ के सभी मान जिनके लिए असमिका $\frac{1}{\sqrt{a}} \int_{1}^{a} (\frac{3}{2} \sqrt{x} + 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}) dx < 4$ संतुष्ट होती है, किस अंतराल में स्थित हैं?